Zope - Plone - pLatex - Tex - Wiki - qmail - haskell InfiniteSeriesOfReciprocalOfSquareNumber

$\sin x$ をマクローリン展開すると、

$\label{eq1} \sin x=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\frac{1}{7!}x^7+\cdots$

また、 $\sin x=0$ の解は、 $x=n\pi$ , $(n=0,\pm 1,\pm 2,\pm 3,\cdots)$ だから、同じ零点を持つ、無限乗積で表せることができるかもしれない。よって、

$\label{eq2} \sin x &=& x(x-\pi)(x+\pi)(x-2\pi)(x+2\pi)(x-3\pi)(x+3\pi)\cdots \ &=& x(x^2-\pi^2)(x^2-(2\pi)^2)(x^2-(3\pi)^2)\cdots \$

(2)

と表せないだろうか。しかし、これは、明らかにマクローリン展開と違う。そこで、

$\label{eq3} \sin x= x\left\{1-\left(\frac{x}{\pi}\right)^2\right\} \left\{1-\left(\frac{x}{2\pi}\right)^2\right\} \left\{1-\left(\frac{x}{3\pi}\right)^2\right\} \left\{1-\left(\frac{x}{4\pi}\right)^2\right\} \cdots$

(3)

と表すのが正解だろう。（いい加減・・・）

(1)と(3)のの係数を見比べると、

$\label{eq4} -\frac{1}{6}=-\frac{1}{\pi^2}-\frac{1}{2^2\pi^2}-\frac{1}{3^2\pi^2}-\cdots$

(4)

となるので、

$\label{eq5} \frac{1}{1^2}+\frac{1}{2^2}+\frac{1}{3^2}+\frac{1}{4^2}+\cdots = \frac{\pi^2}{6}$

(5)

と予想できる。高校生に説明するには、これくらいがいいかもしれない。（大学生でも！！）