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予備校の講師の先生が、部分積分を効率よく計算する話をされた。あまりにも素早く解説されたので、戸惑ってしまったが、家に帰って計算してみると、なるほど、簡単だ。

部分積分は、

$\label{eq1} \int fg'dx =fg-\int f'g dx$

(1)

で与えられる。これは、 $x^2\sin x$ などの不定積分を計算するときに便利である。しかしながら、ちょっと面倒くさい。そこで、今、関数

の微分を

で表し、不定積分を

で表して、上の部分積分の公式を書き表してみる。

$\label{eq2} I(fg)=fIg-I(DfIg)$

(2)

この式は、よく見ると、再帰的に定義されている。

そこで、最後のにこの式を再度適用すれば、

$\label{eq3} I(fg) & = & D^0fIg-\left\{DfI^2g-I(D^2fI^2g)\right\} \ & = & D^0fIg-DfI^2g+I(D^2fI^2g) \ & = & D^0fIg-DfI^2g+D^2fI^3g-D^3fI^4g+\cdots$

(3)

ここで、幸運にも、関数の階微分 $D^{n}f=0$ であれば、

$\label{eq4} I(fg)= \sum_{k=0}^{n}(-1)^kD^kfI^{k+1}g$

(4)

となる。というわけで、 $x^2\sin x$ の不定積分を求めてみると、だから、

$\label{eq5} I(x^2\sin x) &= &x^2(-\cos x)-2x(-\sin x)+2\cos x \ & = & -x^2\cos x+2x\sin x+2\cos x$

(5)

また、の不定積分を求めると、で、であるから、

$\label{eq6} I(x^4e^x) &=& x^4e^x-4x^3e^x+12x^2e^x-24xe^x+24e^x \ &=& (x^4-4x^3+12x^2-24x+24)e^x$

(6)

となる。これをインテグラルの記号を使っていたら大変である。

しかし、 $\log x$ の不定積分は、どうであろうか？これは、無限級数になってしまう。

$\label{eq7} I(\log x \cdot 1) & = & \log x\cdot x - x^{-1} \cdot \frac{1}{2}x^2 + \{(-1)\cdot x^{-2}\}\cdot \frac{1}{6}x^3 - \{(-1)\cdot (-2)x^{-3}\}\cdot \frac{1}{24}x^4 +\cdots$

(7)

しかし、上の級数の第2項以降を、うまく $\sum$ で表してみると、

$\label{eq8} I(\log x\cdot 1) & = & x\log x +\sum_{k=1}^{\infty}(-1)^k\cdot (-1)^{k+1} \cdot (k-1)!\cdot x^{-k}\cdot \frac{1}{(k+1)!}x^{k+1} \ & = & x\log x - \left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{(k-1)!}{(k+1)!}\right )x \ & = & x\log x - \left(\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)}\right )x$

(8)

となり、

$\label{eq9} \sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k(k+1)} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{k(k+1)} = \lim_{n\to\infty}\sum_{k=1}^{n}\left(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}\right ) = \lim_{n\to\infty}\left(1-\frac{1}{n+1}\right ) = 1$

(9)

であることから、

$\label{eq10} I(\log x)=x\log x - x$

(10)

を得る。結局簡単な積分は、ちゃんとした部分積分を行った方が早い。