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ゼミナール日本経済入門 の5ページに載っている「経済成長率と人口増加率との関係」の 式を証明します。

今年度，昨年度のGDPをそれぞれ，Y'，Y とする。同様に，今年度，昨年度の人口をそれぞれ，N', N とする。また，一人当たりの今年度, 昨年度のGDPを \displaystyle y'=\frac{Y'}{N'}, \displaystyle y=\frac{Y}{N}とする。さらに，\dot{Y}を経済成長率，\dot{y} を一人あたりの経済成長率，\dot{N} を人口増加率とする。このとき，

命題1. \dot{Y}=\dot{y}+\dot{N}+\dot{y}\cdot\dot{N} が成り立つ。

\label{eq1} \dot{Y}=\frac{Y'-Y}{Y}=\frac{y'N'-yN}{yN} (1)
であり，
\label{eq2} \dot{y}=\frac{y'-y}{y} (2)
\label{eq3} \dot{N}=\frac{N'-N}{N} (3)
 であるので，(2),(3)を(1)に代入すれば，
\label{eq4} \dot{Y} &= & \frac{(y+y\dot{y})(N+N\dot{N})-yN}{yN} \ &= & \frac{yN+yN\dot{N}+y\dot{y}N+y\dot{y}N\dot{N}-yN}{yN} \ &= & \frac{yN\dot{N}+y\dot{y}N+y\dot{y}N\dot{N}}{yN} \ &= & \dot{y} + \dot{N} + \dot{y}\dot{N} (4)
 となる。

普通は，\dot{y}<<1, \dot{N}<<1 であるから，

\label{eq5} \dot{Y}\approx\dot{y}+\dot{N} (5)
である。

これからの日本は何を目標にしていくべきか？

上の式から明らかなように，経済成長率は，一人当たりの経済成長率と人口増加率の和であると考えられます。人口が減少していく日本のGDPは今後減少していくことになります。したがって， \dot{Y} をプラスにするという考え方ではなく，一人当たりの経済成長率 \dot{y} をプラスにすることを目標にしなければならないのだ！！　とゼミナール日本経済入門には書いてあります。