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次のような問題があった。何が落としどころなのだろうかと考えてみた。

a>b>0, a+b=1 のとき、次の大小関係をいいなさい。
\label{eq1} \frac{1}{2},\ \ a^2+b^2,\ \ 2ab (1)
引き算を行ってみると、
\label{eq2} a^2+b^2-2ab=(a-b)^2=(a+b)^2-4ab=1-4ab=2\left(\frac{1}{2}-2ab\right )>0 (2)

というわけで、一番小さいのは、2ab ということになる。また、

\label{eq3} \frac{(a^2+b^2)+2ab}{2}=\frac{(a+b)^2}{2}=\frac{1}{2} (3)
であるから、2ab, \frac{1}{2}, a^2+b^2 の順に等差数列であることがわかる。

作成者は、等差数列となることを知っていたのだろう。 また、a-b 平面で考えてみると、この大小関係は、とても微妙であることがわかる。