ある方から質問され、気付いたことを覚書しておく。
命題2で出てくる自然数解
,
,
のうち、
が奇数の2乗であるという
性質は命題1のことを知っていたにも関わらず、この40年間気付かなかった。
まず、よく知られている命題について、証明してみる。背理法だらけであるので、 いまいち不安である。
命題 1.
,, を自然数とする。このとき、
を満たす、既約な解は、
, 
が互いに素で、かつ、同時に奇数でないとして、次のように表される。
 | (1) |
Claim 1. , は同時に奇数ではない。
, が同時に奇数であるとする。よって、
, 
とおける。
このとき、
となる。ところで、
のそれぞれにおいて、
, 
,
であるから、自然数の平方数は、4で割った余りは、0または 1 である。
は4で割って2余るから、不合理である。
命題 1. の証明
, は同時に奇数ではないので、 を偶数としてよい。このとき、
である。このとき、
, 
とおくと、
と 
は両方とも偶数または奇数である（自明）。よって、 は偶数であるから、 と は両方とも偶数である。
したがって、
, 
とすると、
である。ここで、
と 
は互いに素であるとしてよい。
なぜなら、
, 
として、
と 
は互いに素であるとする。
このとき、
, 
, 
であるから、共通因数 
が存在して、既約な解ではなくなってしまうからである。
さて、 と は互いに素であるので、
であることを考えると、
, の素因数の指数はすべて偶数である。よって、
, 
とおいてよい。
と が互いに素であるから、 と も互いに素である。
よって、
とおける。このとき、
, 
となる。
さらに、もし、, が同時に奇数であったとるすと、, , すべて偶数になるので、既約ではなくなってしまう。したがって、, は同時に奇数ではない。（証明終）
命題 2. （解の分類）
を満たす既約な自然数解において、 が偶数であるとする。
このとき、 は奇数の2乗となる。
命題 2. の証明
, 
とおける。よって、
 | (2) |
, は同時に奇数ではなく、互いに素であるから、
は奇数でなければならない。
よって、 は奇数の2乗となる。
例
自然数解は、高校生の場合、2つのパラメータで記述するより、1変数で複数提示した方が実感がわくかもしれない。最初の の値は、単純な等差数列である。これらの1変数による表示は、
命題 1.からすぐに導かれる。いくつか例を示そう。
１．
のとき、
とすると、, は同時に奇数ではなく、, は互いに素である。よって、既約な自然数解は、
 | (3) |
3,4,5 5,12,13 7,24,25 9,40,41 11,60,61 13,84,85この例などは、具体的な最初のいくつかの解を具体的に計算してみて、数学的帰納法を駆使して、上の
による解を発見するという方法もあるだろう。
２．
のとき、
とすると、 が3の倍数のときを除いて、, は同時に奇数ではなく、かつ、互いに素である。
 | (4) |
15,8,17 21,20,29 27,36,45 <-reducible 33,56,65 39,80,89 45,108,117 <-reducible例えば、
は既約ではなく、
を9倍したものである。
また、
は既約でなく、
を9倍したものである。
３．
のとき、
とすると、 が5の倍数のときを除いて、, は同時に奇数でなく、かつ、互いに素である。
 | (5) |
35,12,37 45,28,53 55,48,73 65,72,97 75,100,125 <-reducible 85,132,157
については、 の解を25倍したものになっている。したがって、次の命題が得られる。（と思う）
命題 3. (命題 2 の一般化)
の既約な自然数解は、 が偶数であるときは、 を0以上の整数として、
 | (6) |
のときは、 と 
が互いに素である場合のみ既約な解となる。
自然数の解が ごとに既約でない解が現れるのは面白い。
これまで知らなかった、21,20,29などは、数が3,4,5のように数も接近していて興味深い。
当たり前のように使われている、三平方の定理も、自然数解という特殊な解に的を絞ると、 いくぶん面白い性質が見つかる。 その他にもいろいろ見つかりそうである。