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命題　１．

\label{eq1} |x+y|^{\alpha}\leq |x|^{\alpha}+|y|^{\alpha} (1)
が成り立つための必要十分条件は、0<\alpha\leq 1 である。

証明　

上の定理が成り立つための必要十分条件は、すべての k に対して、次の式が なりたつことである。

\label{eq2} |x|^{\alpha}+|y|^{\alpha} &\geq & |k|^{\alpha} \ x+y &=& k (2)
すなわち、
\label{eq3} \{(x,y)\mid x+y=k\} \subset \{(x,y)\mid |x|^{\alpha}+|y|^{\alpha} \geq |k|^{\alpha}\} (3)
 がなりたつことである。

　これは、直線 x+y=k が領域 \{(x,y)\mid |x|^{\alpha}+|y|^{\alpha} \geq |k|^{\alpha}\} に含まれていればよい。 これは、0<\alpha\leq 1 のとき、成り立つ。（証明終）

Picture

参考までに、領域 D=\{(x,y)| |x|^{\frac{1}{2}}+|y|^{\frac{1}{2}}\geq 1^{\frac{1}{2}}\} と、直線 x+y=1 を描いた。 x+y=1 が領域 D に含まれていることがわかる。\alpha=1 のときは、 正方形になる。\alpha が 1 を下回ると、星形になってくる。